【洛谷P1045】麦森数

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巧用快速幂

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045

题面就不贴了，地址如上。

本题有两个很妙的地方：

一，用log算位数：

$\because 10^n 的位数是n+1$

$\therefore 我们想办法把 2^p-1转化为10^n的形式$，其中$2^p与2^p-1的位数相同（很显然），所以我们只用求2^p即可$

又$\because10^{lg2}=2$

$\therefore 10^{p\times lg2}=2^{p}$

$\therefore 位数即为p\times lg2+1$

二，用快速幂的思想：

因为出现了很大的p，而且只要求后500位，所以我们直接高精度快速幂，只管后500位，其他不变。

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

const int maxn=510;
int p,a[maxn],c[maxn];

void mul1()//a*c
{
	int tmp[maxn],i,j;
	memset(tmp,0,sizeof(tmp));
	for (i=1;i<=500;i++)
		for (j=1;j<=500;j++)
			if (i+j-1<=500)
			{
				tmp[i+j-1]+=a[i]*c[j];
				tmp[i+j]+=tmp[i+j-1]/10;
				tmp[i+j-1]%=10;
			}
	memcpy(c,tmp,sizeof(c));
}

void mul2()//a*a
{
	int tmp[maxn],i,j;
	memset(tmp,0,sizeof(tmp));
	for (i=1;i<=500;i++)
		for (j=1;j<=500;j++)
			if (i+j-1<=500)
			{
				tmp[i+j-1]+=a[i]*a[j];
				tmp[i+j]+=tmp[i+j-1]/10;
				tmp[i+j-1]%=10;
			}
	memcpy(a,tmp,sizeof(a));
}

int main()
{
	int i,j;
	scanf("%d",&p);
	printf("%d\n",(int)(1.0*p*log10(2))+1);
	c[1]=1;
	a[1]=2;
	for (;p;p>>=1)
	{
		if (p&1)
			mul1();
		mul2();
	}
	c[1]--;
	for (i=1;i<=10;i++)
	{
		for (j=500-(i-1)*50;j>=500-i*50+1;j--)
			printf("%d",c[j]);
		puts("");
	}
	return 0;
}
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